Optische Untersuchungen / [Johann August Grunert].

  • Grunert, Johann August, 1797-1872.
Date:
1846-1851
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Credit: Optische Untersuchungen / [Johann August Grunert]. Source: Wellcome Collection.

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    Die Coordinaten des Punktes, von welchem diese drei gera- den Linien ausgehen, in dem angenommenen rechtwinkligen Sy- steme der xyz seien pq,, i\; und die Gleichungen der Ebene, in welcher die drei geraden Linien liegen, sei 11) Ax + By 4 Cz 4 V = 0. Ferner seien & und Ol die 180° nicht übersteigenden Winkel, welche die erste und dritte gerade Linie mit der zweiten geraden Linie einschliessen. Weil der Punkt (p, q, r,) in jeder der drei geraden Linien, also auch in der durch die Gleichung 11) charaklerisirlen Ebene liegt; so haben wir nach 10) und 11) die Gleichungen: / qL = apL + f, 1\ =“ bpL + g; 12) 1 qi = a pi 4 f'i rL — b'p, 4 g ; ( qL = aipl 4 /i, rt = b,p, 4 gL; und 13) APi + BqL 4 Cr, + D = 0. Weil ferner jede unserer drei geraden Linien nebst ihrer Ver- längerung über den gemeinschaftlichen Ausgangspunkt hinaus ganz in der durch die Gleichung 11) charaklerisirlen Ebene liegt, so ist nach 10) und 11) offenbar für jedes x\ (A + Ba + Cb) x 4“ Bf 4 Cg + D = 0, (A 4 Ba 4 Cb') x 4 Bf 4 Cg + D = 0, (A 4“ Ba, 4- Cb,) x 4 Bf, 4- Cg, 4- D = 0; woraus sich unmittelbar die beiden folgenden Systeme von Glei- chungen ergeben: ( A 4 Ba 4 Cb = 0, 14) 1 A 4- Ba 4 Cb' == 0, ( A 4 Ba, 4 Cb1 = 0; und ( Bf 4 Cg 4 D = 0, 15) Bf 4 Cg 4 D = 0, f Bf 4 'Cg, 4 11 = 0. Ferner ist nach den Principien der analytischen Geometrie: Y (fl — a'y 4 (b — by 4 (ab' — ab)2. 1 (1 4 fl2 4 b2) (1 4 a'2 4 b'2) V~ (a —a,)2 4 (bf — b,)2 4 (ab, — a,b')2. (1 4 a 2 4 b'2) (1 4 a,2 4 b,2) ’ isin & = sin &, = i